This essay focuses on the Radon-Nikodym Theorem, a cornerstone result in measure theory that relates two measures defined on the same measurable space when one is absolutely continuous with respect to the other. To understand the behaviour of the Radon-Nikodym Theorem, we define an integral with respect to an arbitrary measure space, develop essential concepts in measure theory, and present critical results such as the Monotone Convergence Theorem. An essential application of the Radon-Nikodym Theorem is in probability theory, where it provides a rigorous foundation for defining conditional probability and expectation.
Denna uppsats fokuserar på Radon-Nikodyms sats, ett grundläggande resultat inom måttteori som relaterar två mått definierade på samma mätbara rum när det ena är absolut kontinuerligt med avseende på det andra. För att förstå beteendet hos Radon-Nikodyms sats definieras en integral med avseende på ett godtyckligt mätrum, och grundläggande begrepp inom måttteori utvecklas. Viktiga resultat, såsom den monotona konvergenssatsen, presenteras. En viktig tillämpning av Radon-Nikodyms sats finns inom sannolikhetsteorin, där den ger en rigorös grund för att definiera betingad sannolikhet och väntevärde.