Umeå University's logo

Logic as a vehicle for sound reason has a long and lustrous history and while most developments follow the traditional notions of binary truth and crisp sentences, great efforts have been placed into the problem of reasoning with uncertainties. To this end the field of "fuzzy logic" is now of great importance both theoretically and practically. The present monograph seeks to extend and clarify the treatment of non-classical notions of logic and, more broadly, information representation in general. This is done using two theoretical developments presented with additional discussions concerning possible applications.

The first theoretical development takes the form of a novel and strictly categorical term monad that readily allows for a multitude of non-classical situations and extensions of the classical term concept. For example, using monad composition we may represent and perform substitutions over many-valued sets of terms and thereby represent uncertainty of information. As a complementary example, we may extend this term monad to incorporate uncertainty on the level of variables and indeed the operators themselves. These two notions are embodied inthe catchphrases "computing with fuzzy" and "fuzzy computing".

The second theoretical development is a direct generalization of the notion of general logics, a successful categorical framework to describe and interrelate the various concepts included under theumbrella term of 'logic'. The initial leap towards general logics was the introduction of institutions by Goguen and Burstall. This construction cover the semantic aspects of logics and in particular, axiomatizes the crucial satisfaction relation. Adding structures for, e.g., syntactic entailment and proof calculi, Meseguer established general logics as a framework capable of describing a wide range of logics. We will in our generalization further extend general logics to more readily encompass non-classical notions of truth such as in fuzzy logics and logics operating over non-classical notions of sets of sentences.

Logik är ett gammalt och kraftfullt verktyg för att föra korrekta resonemang och människor har under lång tid studerat och tillämpat olika logiska system. Dessa studier har till stor del fokuserat på logik som innefattar ett binärt sanningsbegrepp, det vill säga logik där en utsaga är antingen sann eller falsk. Givetvis är detta en väldigt begränsad vy då vi i vår vardag ofta måste värdera sanning på en betydligt mer flexibel skala. På samma sätt måste vi ofta resonera och fatta beslut utifrån information som på olika sätt kan vara osäker. En djupare förståelse för dessa otraditionella logiker är därför av stort intresse till exempel i expert-system som mekaniskt föreslår beslut utifrån osäker information. I denna monografi beskriver vi två matematiska ramverk som tillåter oss att beskriva dessa typer av otraditionella logiker och otraditionell representation av information i allmänhet. Dessa teoretiska konstruktioner är kompletterade med diskussioner relaterade till praktiska och vidare teoretiska tillämpningar.

Den första av de två teoretiska konstruktionerna är en strikt kategoriteoretiskt definierad termmonad som kan beskriva termer och variabelsubstitution för en mängd olika otraditionella termkonstruktioner. Till exempel, genom monadkomposition kan vi representera flervärda mängder av termer och detta ger oss möjlighet att representera osäker information. Alternativt kan vi konstruera en termmonad som uttrycker osäkerhet på ett mer fundamental sätt genom att termernas ingående variabler och operatörer i sig kan ha associerad osäkerhet.

Den andra teoretiska konstruktionen är en direkt generalisering av det matematiska ramverket "generell logik" som axiomatiserar de olika komponenter som ofta faller under logikbegreppet. I generell logik beskrivs dock dessa utifrån en traditionell vy och för att beskriva otraditionella logiker krävs därför ofta obekväma representationer. Den nämnda generaliseringen syftar därför till att förenkla konstruktionen av mer exotiska logiker inom ett ramverk som till stor del liknar generell logik.