Umeå universitets logga

This thesis consists of the following papers.

1. I  J. Larsson, The Minimum Matching in Pseudo-dimension 0 < q < 1, submitted

2. II  V. Falgas-Ravry, J. Larsson, K. Markström, Speed and concentration of the covering time for structured coupon collectors, submitted

3. III  J. Larsson, K. Markström, Biased random k-SAT problems, manuscript

These papers can all be seen as variations on the same question: Given a large set V and a family F of subsets of V, each assigned a (random) weight, we assign each subfamily G ⊆ F a cost based on the weights of sets that occur in it. What will the minimal cost of a subfamiliy G that covers V be?

In the first paper, we search for a disjoint cover of the ground set V = {u_1,u_2,...u_n,v_1,v_2,...v_n}, using random 2-sets of the form {u_i, v_j}. In other words, we search for matchings in a bipartite graph. Each edge receives a random weight distributed uniformly in [0, 1], and the cost of a perfect matching using edges with weights l_1,l_2,...l_n is Σ_{i=1}^n l_i^{1/q} for some q > 0.

The second paper lives in a more general setting. There we search for any cover of the ground set V, for general families F. Each set f ∈ F receives weight w(f) uniformly at random from [0,1]. The cost of a cover f_1,f_2,...f_m is then taken to be max_i w(f_i). This is equivalent (after a rescaling) to drawing sets from F at Poisson times, and the cost of a cover is the first time V is covered. This problem is known under a number of names, perhaps most famously the coupon collector problem. In the classical formulation, single elements of V are drawn, not sets. The classical coupon collector thus corresponds to the family F consisting of singleton sets, and we call the version allowing larger sets structured coupon collector problems. The main concern of this paper is to identify relevant properties of F that affect the covering time (i.e. minimal cost of a cover), and to provide (easily checkable) sufficient conditions for concentration of the covering time.

For the third paper we narrow the scopes once more, and study the biased random k-SAT problem. The random k-SAT problem can be seen as a special case of the structured coupon collector, but a special case that has far richer structure than the generic case. The ground set is the hypercube Σ_n = {0, 1}^n, and the coupons are all the k-codimensional subcubes of Σ_n. We study a slight variation on this problem: subcubes are drawn with a constant bias towards 0, so that vertices in Σ_n with fewer 1's and more 0's are easier to cover.

Denna licentiatsavhandling består av följande artiklar.

• I  J. Larsson, The Minimum Matching in Pseudo-dimension 0 < q < 1, submitted

• II  V. Falgas-Ravry, J. Larsson, K. Markström, Speed and concentration of the covering time for structured coupon collectors, submitted

• III  J. Larsson, K. Markström, Biased random k-SAT problems, manuscript

De tre artiklarna kan ses som variationer på samma fråga: Givet en basmängd V och en familj F av delmängder av V som alla tilldelas en (slumpmässig) vikt, tilldelar vi varje delfamilj G ⊆ F en kostnad baserad på vikterna av mängderna som ingår i G.

Vad kommer den minimala kostnaden av en delfamilj G som täcker V vara?

I den första artikeln söker vi efter en disjunkt övertäckning av mängden V = {u_1,u_2,... u_n,v_1,v_2,... v_n}, med 2-mängder av formen {u_i, v_j}. Med andra ord söker vi efter en matchning i en bipartit graf. Varje 2-mängd (kant) tilldelas en slumpmässig vikt uniformt från [0,1], och kostnaden för en matchning som använder kanter med vikter l_1, l_2,... l_n är Σ_{i=1}^n l_i^{1/q}$ för något q>0.

Den andra artikeln utspelar sig i en mer generell miljö. Där söker vi efter en övertäckning (inte nödvändigtvis disjunkt) av V, för generella familjer F. Varje mängd f ⊆ F tilldelas vikt w(f) enligt en likformig fördelning på [0,1]. Kostnaden av en övertäckning f_1, f_2,...f_m ges av max_i w(f_i).

Detta är ekvivalent (efter omskalning) med att mängder ur F dras som en Poisson-process, och kostnaden för en övertäckning ges av tidpunkten då V först har täckts.

Detta problem är känt under många olika namn, varav det kanske mest vanligt förekommande är kupongsamlarproblemet. I den klassiska formulering dras inte mängder utan enstaka element, vilket är ekvivalent med att F består av enbart singleton-mängder. När F även innehåller större mängder än så kallar vi det för det strukturerade kupongsamlarproblemet.

Huvudmålsättningen med denna artikel är att identifiera relevanta egenskaper hos F som påverkar täckningstiden, och att ge (lätt tillämpbara) tillräckliga kriterier för att täckningstiden ska vara skarpt koncentrerad.

Till den tredje artikeln smalnar vi ner fokus igen, och studerar det skeva slumpade k-SAT-problemet. Det slumpade k-SAT-problemet kan ses som ett specialfall av det strukturerade kupongsamlarproblemet, men ett specialfall med mycket rikare struktur än det generiska fallet. Basmängden är hyperkuben Σ_n={0,1}^n, och kupongerna är alla k-kodimensionella delkuber av Σ_n. Vi studerar en variant av detta problem där sannolikhetsfördelningen är något skev, så att delkuber närmre hörnet (0,0,...0) dras med högre sannolikhet, vilket i sin tur medför att hörn med fler nollor än ettor är lättare att täcka.